Основы анализа Фурье

Рис. 1. В ходе системного анализа поверхности пользователю обычно нет необходимости знать, как система рассчитывает желаемые параметры. Но один из способов, который используется программой для расчетов, и который действительно необходим (также имеются и другие методы), – это анализ с помощью рядов Фурье. Источник: Mahr

Техника гармонического разложения или анализа Фурье применима к решению целого ряда проблем, как математического, так и физического характера.

В большинстве случаев измерение формы сводится к определению геометрии: насколько круглым, прямым или плоским является какое-либо изделие. В случае цилиндра боковые измерения помогают определить прямолинейность, измерения с торцов – круглость, а сочетание этих измерений – цилиндричность. Все это основы геометрии – линии, плоскости, круги и цилиндры.

Однако на примере конструктора всем нам известно, что квадратный стержень не входит в круглое отверстие. А иногда даже и круглые стержни не входят в круглые же отверстия. Поэтому важно установить требования к круглости для многих деталей – чтобы понять, является ли круглый стержень достаточно круглым, чтобы войти в круглое отверстие при сборке деталей. Но иногда просто знания того, что деталь круглая, недостаточно. В реальном трехмерном мире, где должны функционировать детали, обработанные с высокой точностью, важно понимать, как погрешности при определении круглости повлияют на желаемые функции поверхности.

Возьмите круглую деталь, способную кататься по поверхности, например, ролики на дорожке качения в подшипнике. Круглая деталь может являться идеально круглой и при этом не функционировать должным образом. А производителей подшипника часто не волнует само значение круглости. Они хотят видеть, из чего состоит круглость, какие погрешности она может иметь и какое влияние длина гармонической волны этих погрешностей оказывает на функцию подшипника.

Вот с чем связан гармонический анализ, часто именуемый также анализом Фурье. Он позволяет разложить сложную кривую на несколько простых синусоид разной длины волны и амплитуды, которые при сложении приблизительно равны первоначальной сложной кривой. Чем больше таких синусоид используется, тем выше приближение. Можно долго рассуждать об образовании ряда Фурье, поэтому тем читателям, кто не знаком с этой концепцией, рекомендуется обратиться к соответствующей странице Википедии. Возможно, большое число приведенных там математических уравнений вас испугает, но на самом деле достаточно всего лишь взглянуть на наглядные представления. Они иллюстрируют сложный процесс создания серии гармонически связанных синусоидальных функций, поражающих своей простотой, как и распределение тепла в металлической плите, которое и натолкнуло Жана-Батиста Жозефа Фурье на его теорию в 1807 году (отсюда название анализа).

Основы анализа Фурье

Рис. 2

С того времени разложение в ряд Фурье (или гармонический анализ) использовалось для решения целого пласта проблем, как математического, так и физического характера. Анализ Фурье позволяет производителям подшипников разложить сложный круглый профиль и начертить график составляющих его кривых (см. схему 1 на рисунке 2), где амплитуда различной частоты сравнивается с длиной волны, что выражается в количестве волн на оборот. В случае с роликами в дорожке качения, о которых шла речь выше, производитель может допустить несколько бо́льшую амплитуду увеличенной длины волны, но ошибка в короткой волне приведет к  тому, что подшипник будет дергаться или вибрировать. Поэтому вместо того, чтобы указывать один допуск круглости, производители выбирают кривую устойчивости на графике амплитуда/длина волны, полученную методом анализа Фурье.

Но гармонический анализ все шире применяется не только в производстве подшипников. Поскольку подавляющее большинство областей его применения связано с круглыми частями, анализ рядов Фурье может использоваться для определения прямолинейности и плоскостности. В этих случаях на графиках раскладываются различные длины волн, отображается отношение амплитуды к частоте на единицу длины (см. схему 2 на рисунке 2). Эта информация может пригодиться при определении наличия или отсутствия повторяющихся  микроструктурных образцов на поверхности детали.

Хороший пример – плавающий подшипник, имеющий вытравленные или механически нанесенные маленькие бороздки на одной поверхности, создающие эффект гидравлического или пневматического подъема при движении относительно сопрягаемой поверхности. Эти бороздки очень малы, часто всего лишь несколько микронов в глубину и ширину. Производителю необходимо убедиться, что любые вариации в процессе находятся в пределах допусков, но измерение каждой бороздки по отдельности заняло бы очень много времени. Вместо этого благодаря анализу Фурье, который позволяет накладывать ряд синусоид на траекторию измерений по всем бороздкам (снова рекомендуем обратиться к наглядному представлению в Википедии), можно очень быстро проверить, насколько правильно выбраны  расстояние между бороздками (доминирующая длина волны) и глубина (амплитуда доминирующей длины волны) в общем рисунке, и убедиться, что бороздки будут эффективно выполнять свою функцию как единое целое.

Другая область широкого применения – так называемый резьбовой анализ уплотнений вала. Двигатели содержат большое количество масел и жидкостей, а также валов, проходящих через подшипники. Валы и уплотнения, через которые они проходят, имеют определенные микроструктуры на своей поверхности как результат обработки. Это могут быть маленькие канавки, оставленные наконечником инструмента во время закатки кромок, или даже еще более мелкие выемки от воздействия одного абразивного зерна в шлифовальном круге. Если любая из этих микроструктур будет выглядеть как винтовая резьба или бур, это приведет к прокачиванию жидкости через уплотнение по мере вращения вала. В результате возникает просачивание масла, если есть открытая сторона на конце уплотнения, или смешивание масла с охлаждающей жидкостью и/или наоборот, если имеется уплотнение между внутренними камерами двигателя.

В случае систем, выполняющих резьбовой анализ, пользователю обычно нет необходимости знать, как система рассчитывает желаемые параметры. Но один из способов, который может использоваться программой для расчетов, и который действительно необходим (также имеются и другие методы), – это анализ с помощью рядов Фурье. Он позволяет оценить профиль поверхности вала и найти повторяющиеся модели таких резьбоподобных структур. При обнаружении данных моделей система определяет интервал между витками, амплитуду длины волн, объем структуры и углы относительно нуля. Если угол равен нулю, становится понятно, что структуры расположены вокруг вала и выход масла в любом направлении отсутствует. Если угол больше или меньше нуля, расчеты объема помогут понять размер потенциальной утечки.

По мере того, как производственные и измерительные системы становятся все сложнее, мы обнаруживаем, что лучше воспринимаем некоторые понятия в трехмерной системе, чем выражая их через простые линии, круги и плоскости. Есть много областей применения, где требуется всего лишь простое понимание того, что стержень достаточно круглый для прохождения в круглое отверстие. Но производители все чаще желают знать, «насколько круглым» должен быть стержень, к чему приведут отклонения от круглости, и как компоненты круглой формы влияют на функционирование целой детали. Для этих задач действительно ценным инструментом является разложение Фурье или гармонический анализ.

Источник материала: перевод статьи
The Basics of Harmonic Analysis,
Mahr.com

Автор статьи-оригинала:
Пэт Ньюгент (Pat Nugent)

Скачать каталоги инструмента Mahr и получить информацию о данном производителе вы можете по этой ссылке: Инструмент Mahr, каталоги Mahr

Об авторе статьи:

Пэт Ньюгент является вице-президентом по метрологическим системам Mahr Federal Inc. Дополнительную информацию можно получить на сайте www.mahr.com.



Понравилась статья? Поделитесь: